\subsection{直角三角形中边与角间的关系}\label{subsec:15-4}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-7}
    \caption{}\label{fig:15-7}
\end{wrapfigure}

在生产实际和科学研究中，经常需要求出线段的长度或角的大小，这种问题常常可以归结为求一个三角形的边长或角的大小。
由三角形中已知的边和角，计算未知的边或角，叫做\zhongdian{解三角形}。现在先来研究解直角三角形的问题。
为此，我们用三角函数来表示直角三角形中边与角间的关系。

如图 \ref{fig:15-7}，直角三角形 $ABC$ 中，$C$ 是直角，斜边是 $c$；
锐角 $A$ 的对边是 $a$，邻边是 $b$;
锐角 $B$ 的对边是 $b$，邻边是 $a$。\footnote{本章中，直角三角形 $ABC$ 的边和角的符号都是这样表示。}
如图 \ref{fig:15-8} （1） 或（2）， 建立直角坐标系。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-8-1}
        \caption*{(1)}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-8-2}
        \caption*{(2)}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:15-8}
\end{figure}

根据三角函数的定义，可得：

(1) \begin{tblr}[t]{columns={mode=math}}
    \sin A = \dfrac{a}{c} \douhao & \cos A = \dfrac{b}{c} \douhao \\
    \tan A = \dfrac{a}{b} \douhao & \cot A = \dfrac{b}{a} \fenhao
\end{tblr}

(2) \begin{tblr}[t]{columns={mode=math}}
    \sin B = \dfrac{b}{c} \douhao & \cos B = \dfrac{a}{c} \douhao \\
    \tan B = \dfrac{b}{a} \douhao & \cot B = \dfrac{a}{b} \juhao
\end{tblr}


% \begin{wrapfigure}[7]{r}{5cm}
%     \centering
%     \input{../pic/czds4-ch15-9}
%     \caption{}\label{fig:15-9}
% \end{wrapfigure}

如果用 $\alpha$ 表示直角三角形的一个锐角，那么（1） 和 （2） 可以概括为（图 \ref{fig:15-9}）：


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-9}
        \caption{}\label{fig:15-9}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-10}
        \caption{}\label{fig:15-10}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{center}
\framebox[22em]{\zhongdian{
    \begin{tblr}[t]{columns={mode=math}, rows={rowsep=0.5em}}
        \bm{\sin \alpha = \dfrac{\alpha \text{的对边}}{\text{斜边}}} \douhao          & \bm{\cos \alpha = \dfrac{\alpha \text{的邻边}}{\text{斜边}}} \douhao \\
        \bm{\tan \alpha = \dfrac{\alpha \text{的对边}}{\alpha \text{的邻边}}} \douhao & \bm{\cot \alpha = \dfrac{\alpha \text{的邻边}}{\alpha \text{的对边}}} \juhao
    \end{tblr}
}}
\end{center}

这四个式子给出了直角三角形中边与角之间的关系。
今后在解直角三角形时，可以不必借助于直角坐标系，直接应用这些关系式。

由于 $B = 90^\circ - A$，从 (1) 和 (2) 还可得到
\begin{center}
    \framebox[25em]{
        \begin{tblr}[t]{columns={mode=math}}
            \bm{\sin (90^\circ - A) = \cos A} \douhao  & \bm{\cos (90^\circ - A) = \sin A} \douhao \\
            \bm{\tan (90^\circ - A) = \cot A} \douhao  & \bm{\cot (90^\circ - A) = \tan A} \juhao
        \end{tblr}
    }
\end{center}
因为 $90^\circ - A$ 与 $A$ 的三角函数之间有上述关系，所以在求三角数值的表中，
正弦与余弦可以合用一个表，正切与余切可以合用一个表。


% \begin{wrapfigure}[10]{r}{5cm}
%     \centering
%     \input{../pic/czds4-ch15-10}
%     \caption{}\label{fig:15-10}
% \end{wrapfigure}

\liti[0] 在直角三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 12$，$b = 5$。求角 $A$、角 $B$ 的四个三角函数值（图 \ref{fig:15-10}）。

\jie 由勾股定理，得

\hspace*{1.5em} $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。

$\therefore$ \quad \begin{tblr}[t]{columns={mode=math}, rows={rowsep=0.5em}}
    \sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{12}{13} \douhao & \cos A = \dfrac{b}{c} = \dfrac{5}{13} \douhao &  \\
    \tan A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{12}{5} \douhao  & \cot A = \dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{12} \douhao &  \\
    \sin B = \cos A = \dfrac{5}{13} \douhao        & \cos B = \sin A = \dfrac{12}{13} \douhao \\
    \tan B = \cot A = \dfrac{5}{12} \douhao        & \cot B = \tan A = \dfrac{12}{5} \juhao \\
\end{tblr}



\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（口答）分别说出图中角 $A$、角 $B$ 的四个三角函数值：}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-subsec4-lianxi-1-1}
        \caption*{(1)}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-subsec4-lianxi-1-2}
        \caption*{(2)}
    \end{minipage}
    \caption*{(第 1 题)}
\end{figure}


\xiaoti{在直角三角形 $ABC$ 中：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{已知 $a = 2$，$b = 1$，求角 $A$ 的四个三角函数值；}

    \xxt{已知 $a = 3$，$c = 4$，求角 $B$ 的四个三角函数值；}

    \xxt{已知 $b = 2$，$c = \sqrt{29}$，求角 $A$、角 $B$ 的四个三角函数值。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{把下列各式写成角 $A$ 或角 $B$ 的三角函数的形式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\cos (90^\circ - A)$；} & \xxt{$\tan (90^\circ - B)$；} \\
        \xxt{$\sin (90^\circ - B)$；} & \xxt{$\cot (90^\circ - A)$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\end{xiaotis}

